Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求證：DF=BE；
（2）若AB=10，AD=8，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質可以得出CF=CE，在證明Rt△CFD≌Rt△CEB就可以得出DF=BE；
（2）先證明△CAF≌△CAE，就可以得出AF=AE，設DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CFD和Rt△CEB中，

CD=BC CF=CE

，
∴△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF=BE．

（2）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠BAC．
在△CAF和△CAE中

∠CFD=∠CEB ∠FAC=∠BAC AC=AC

，
∴△CAF≌△CAE（AAS）
∴AF=AE．
設DF=BE=x，由題意，得
8+x=10-x，
解得：x=1．
∴AE=10-1=9．
答：AE=9

點評：本題考查了角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，列一元一次方程解實際問題的運用，解答時證明三角形的全等是關鍵．