Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．
（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？并證明；
（3）若（2）中的菱形是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鱁F與BC的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）由G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，易證得四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，易證得△ABE≌△DCE（SAS），可得BE=CE，然后由三角形的中位線的性質(zhì)，可證得EG=FG=FH=EH，即可得四邊形EGFH是菱形；
（3）當(dāng)菱形是正方形時(shí)，易得△BEC是等腰直角三角形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則可得EF=

1

2

BC．

解答：證明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中點(diǎn)，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四邊形GFHE是平行四邊形．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中點(diǎn)，
∴FH=EG=

1

2

BE，F(xiàn)G=EH=

1

2

CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC．垂直．
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∵BF=FC，BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=

1

2

BC，EF⊥BC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．