Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．
（1）試說明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）若AC與BD垂直，垂足為O．
①請判斷△BDE的形狀；
②若AD=6，BC=10時，求梯形ABED的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
即AD∥CE，
又∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形；

（2）①△BDE是等腰直角三角形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴ED=AC，
∴ED=BD，
∵DE∥AC，AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
即∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；

②過點D作DF⊥BE于F，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD=6，
∴BE=BC+CE=10+6=16，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DF=BE=8，
∴S_梯形ABED=（AD+BE）×DF=×（6+16）×8=88．
分析：（1）由AD∥BC，DE∥AC，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形ACED是平行四邊形；
（2）①由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，根據等腰梯形的對角線相等，即可得AC=BD，又由四邊形ACED是平行四邊形，證得BD=ED，然后根據AC與BD垂直，證得∠BDE=90°，即可判定△BDE是等腰直角三角形；
②由△BDE是等腰直角三角形，即可求得其斜邊上的高，然后根據梯形的面積公式求解，即可求得答案．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．