Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，連接EF．EF與AD交于G．
（1）試猜想AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如果E、F分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果不成立請(qǐng)說(shuō)明理由，如果成立請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，得到△AED≌△AFD，可知AE=AF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．
（2）根據(jù)三角形中位線和平行線的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）AD垂直平分EF，
證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

AD=AD DE=DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分線，
∴AD垂直平分EF．

（2）當(dāng)E、F分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，（1）中的結(jié)論不成立，
理由是：
∵E、F分別是AB、AC中點(diǎn)，
∴EF∥BC，
而AD平分∠BAC，不一定垂直于BC，
∴EF和AD不垂直，也不平分，
即當(dāng)E、F分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，（1）中的結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了角平分線上的一點(diǎn)到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形全等的判定及性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力．