Question

如圖, 在Rt△ABC中，∠C＝90º, AC＝9，BC＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ. 點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0）.

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝__________, PD＝___________；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形PDBQ在某一時刻成為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

Answer 1

(1)QB=12-2t,PD=t (2)t=秒，或t=3.6秒。（3）t=5秒，Q的速度為。

試題分析：解：（1）QB＝12－2t， PD＝.
（2）∵PD∥BC，當(dāng)PD＝BQ時四邊形PDBQ為平行四邊形，
即12－2t＝，解得：（秒） （或秒）
∴存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形.
（3）∵t＝3.6時，BQ＝PD＝＝4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD＝＝6， BD＝15－6＝9，
∴BD≠PD，∴不存在t使四邊形PDBQ為菱形.
設(shè)Q以每秒a個單位長度的速度運(yùn)動，則PD＝, BD＝15－，QB＝12－at,
四邊形PDBQ為菱形時，有PD＝BD＝BQ，先由＝15－得t＝5
將t＝5代入12－at＝，解得
點(diǎn)評：熟知以上判定條件性質(zhì)，在解答題目時要認(rèn)真審題，有三問需結(jié)合已知一一作答，注意的是，二問有兩種情況，易遺漏，本題有一定的難度屬于中檔題。