Question

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，且AD＝12，BC＝18．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤6）

（1）當(dāng)t＝6時(shí)，cos∠BPC＝　 　；

（2）當(dāng)△BPC的外接圓與AD相切時(shí)，求t的值；

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，cos∠BPC是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝；（3）存在，

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，證四邊形AMCD為矩形，在Rt△ABM中求出AM的長(zhǎng)度，推出CD的長(zhǎng)度，在Rt△BDC中求出cos∠BDC的值即可；

（2）作BC的中垂線(xiàn)PH交BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)P'，連接BP'，CP'，作△BP'C的外接圓⊙O，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'時(shí)，∴O與AD相切，求出此時(shí)t的值即可；

（3）連接PB，PC，設(shè)PB交⊙O于點(diǎn)N，連接NC，OB，先證明當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P處于P’處時(shí)，∠BPC最大，則cos∠BPC的值最小，再證明∠BOH＝∠BP'C，求出此時(shí)cos∠BP'C的值即可．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，

∵CD⊥BC，

∴∠DCB＝∠AMC＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠D＝180°﹣90°＝90°，

∴四邊形AMCD為矩形，

∴AD＝MC＝12，

∴BM＝BC﹣MC＝6，

在Rt△ABM中，BM＝6，∠ABC＝60°，

∴AM＝BM＝6，

∴CD＝AM＝6，

當(dāng)t＝6時(shí)，AP＝2t＝12，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，

如圖1，在Rt△BP'C中，P'C＝6，BC＝18，

∴BP'＝＝12，

∴cos∠BP'C＝＝；

故答案為：；

（2）如圖2，作BC的中垂線(xiàn)PH交BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)P'，連接BP'，CP'，作△BP'C的外接圓⊙O，

則P'B＝P'C，圓心O在直線(xiàn)P'H上，

又∵AD∥BC，

∴P'H⊥AD，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'時(shí)，∴O與AD相切，

∴∠DP'H＝∠P'HC＝∠HCD＝90°，

∴四邊形P'HCD為矩形，

∴P'D＝HC＝BC＝9，

則AP'＝AD﹣P'D＝12﹣9＝3，

∴t＝，

∴當(dāng)△BPC的外接圓與AD相切時(shí)，t＝；

（3）存在，

如圖3，由（2）知，

當(dāng)t＝秒時(shí)，△BPC的外接圓OO與AD相切于點(diǎn)P’

∵P'H＝DC＝6>BC＝9，

∴P'H>BH，

∴∠BP'C<90°，圓心O在弦BC的上方，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，

連接PB，PC，設(shè)PB交⊙O于點(diǎn)N，連接NC，

則∠BP'C＝∠BNC≥∠BPC，

∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P處于P’處時(shí)，∠BPC最大，則cos∠BPC的值最小，

此時(shí)，連接OB，則∠BOH＝2∠BP'H＝∠BP'C，

由題意，知OB＝OP'＝P'H﹣OH＝6﹣OH，

在Rt△BOH中，OH2+BH2＝OB2，

∴OH2+92＝（6﹣OH）2，

解得，OH＝，

∴OB＝6﹣OH＝，

在Rt△BOH中，

cos∠BOH＝＝，

∵∠BOH＝∠BP'C，

∴cos∠BPC的值最小為．