Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知三點A、B、C的坐標分別為a（-6，0），B（2，0），C（0，3）．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的表達式．
（2）過C點作CD平行于x軸交拋物線于點D，求D的坐標．
（3）若拋物線的頂點為P，連結(jié)PC、PD，試問在拋物線的對稱軸上是否存在著點E，使得四邊形CEDP為菱形，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由拋物線經(jīng)過點C（0，3），可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），再將A、B兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先由CD平行于x軸，得出D_縱=C_縱=3，再將y=3代入拋物線的解析式，求出x的值，得到D_橫=-4，即可求出D點坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上取點E（-2，2），連結(jié)CE、DE，設(shè)PE交CD于F，則PE是CD的垂直平分線，再證明PF=EF=1，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可得到四邊形CEDP是菱形．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點C（0，3），
∴可設(shè)經(jīng)過A（-6，0），B（2，0），C（0，3）三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），
將A、B兩點的坐標代入，得

36a-6b+3=0 4a+2b+3=0

，
解得

a=- 1 4 b=-1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²-x+3；

（2）∵CD平行于x軸，
∴D_縱=C_縱=3，
當(dāng)y=3時，-

1

4

x²-x+3=3，
解得x₁=0，x₂=-4，
∴D_橫=-4，
∴D點的坐標為（-4，3）；

（3）在拋物線的對稱軸上存在著點E（-2，2），能夠使得四邊形CEDP為菱形．理由如下：
∵y=-

1

4

x²-x+3=-

1

4

（x²+4x+4）+1+3=-

1

4

（x+2）²+4，
∴對稱軸為直線x=-2，頂點P的坐標為（-2，4）．
在拋物線的對稱軸上取點E（-2，2），連結(jié)CE、DE，設(shè)PE交CD于F，則PE是CD的垂直平分線，
∴CD⊥PE，CF=FD，F(xiàn)（-2，3），
∵P（-2，4），E（-2，2），
∴PF=EF=1，
∴四邊形CEDP是菱形．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)解析式的確定、平行于x軸上的點的坐標特征、拋物線的頂點坐標求法以及菱形的判定方法，難度不大，細心求解即可．