Question

設(shè)棱錐的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)為F，棱數(shù)為E．
（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：三棱錐中，V₃=

 

，F(xiàn)₃=

 

，E₃=

 

；
五棱錐中，V₅=

 

，F(xiàn)₅=

 

，E₅=

 

；
（2）猜想：①十棱錐中，V₁₀=

 

，F(xiàn)₁₀=

 

，E₁₀=

 

；
②n棱錐中，V_n=

 

，F(xiàn)_n=

 

，E_n=

 

；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）與面數(shù)（F）之間的等量關(guān)系：

 

；
②棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間的等量關(guān)系：E=

 

；
（4）拓展：棱柱的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間是否也存在某種等量關(guān)系？若存在，試寫出相應(yīng)的等式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：歐拉公式

專題：

分析：（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：根據(jù)三棱錐、五棱錐的特征填寫即可；
（2）猜想：①根據(jù)十棱錐的特征填寫即可；
②根據(jù)n棱錐的特征的特征填寫即可；
（3）探究：①通過(guò)列舉得到棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）與面數(shù)（F）之間的等量關(guān)系；
②通過(guò)列舉得到棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間的等量關(guān)系；
（4）拓展：根據(jù)棱柱的特征得到棱柱的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間的等量關(guān)系．

解答：解：（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：三棱錐中，V₃=4，F(xiàn)₃=4，E₃=6；
五棱錐中，V₅=5，F(xiàn)₅=5，E₅=8；
（2）猜想：①十棱錐中，V₁₀=11，F(xiàn)₁₀=11，E₁₀=20；
②n棱錐中，V_n=n+1，F(xiàn)_n=n+1，E_n=2n；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）與面數(shù)（F）之間的等量關(guān)系：V=F；
②棱錐的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間的等量關(guān)系：E=V+F-E=2；
（4）拓展：棱柱的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間也存在某種等量關(guān)系，相應(yīng)的等式是：V+F-E=2．
故答案為：4，4，6；5，5，8；11，11，20；n+1，n+1，2n；V=F，V+F-E=2．

點(diǎn)評(píng)：考查了歐拉公式，本題由幾個(gè)特殊多面體，觀察它們的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，得到歐拉公式，著重考查了歸納推理和多面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．