已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點(diǎn),CB的延長線交過A、B、D三點(diǎn)的圓于點(diǎn)E.
(1)判斷線段AE與CE之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)若過A、B、D三點(diǎn)的圓記為⊙O,過E點(diǎn)作EF⊥AE于點(diǎn)E,與AC的延長線交于點(diǎn)F,且CD:CF=1:2,求:S△BAE:S△AEF的值.
分析:(1)連接BD,由于點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知,BD=CD?∠CDB=∠DCB,又根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”知∠CBD=∠CAE,故∠CAE=∠ACE?AE=CE;
(2)由于CD:CF=1:2和CD=
1
2
AC,故有AC=CF,即點(diǎn)C是Rt△AEF的斜邊上的中點(diǎn),有AC=CE,則可得△ACE是等邊三角形,即可求得∠FAE=∠AEC=60°,然后由三角函數(shù)的性質(zhì),求得AB:EF=1:2,易證得△ABE∽△FEA,然后由相似三角形面積比等于相似比的平方,求得S△BAE:S△AEF的值.
解答:(1)答:AE=CE;
證明:連接BD,
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∠ABC=90°,
∴BD=CD=
1
2
AC,
∴∠CBD=∠DCB,
又∵四邊形ADBE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠CBD=∠CAE,
∴∠CAE=∠ACE,
∴AE=CE;

(2)解:∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°;
∵CD:CF=1:2,CD=
1
2
AC,
∴AC=CF,
∴AC=CE,
由(1)知AE=CE,
∴AE=CE=AC,
即△ACE是等邊三角形,
∴∠FAE=∠AEC=60°,
∵∠ABE=90°,
∴在Rt△ABE中,sin60°=
AB
AE
=
3
2
,
在Rt△AEF中,tan60°=
EF
AE
=
3

∴AB:EF=1:2,
∵∠ABE=∠AEF=90°,∠AEB=∠EAF=60°,
∴△ABE∽△FEA,
∴S△BAE:S△AEF=1:4.
點(diǎn)評:此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,過點(diǎn)B作BD∥AC,且BD=2AC,連接AD.試判斷△ABD的形狀,并說明理由.

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(1997•陜西)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E,OD∥AB.求證:①ED是⊙O的切線;②2DE2=BE•OD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•豐臺區(qū)一模)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連結(jié)DE.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)連結(jié)OE,若cos∠BAD=
3
5
,BE=
14
3
,求OE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在斜邊AB上,分別作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)DE=x,DF=y.
(1)求出cosB的值;
(2)用含y的代數(shù)式表示AE;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;
(4)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求出S的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,求斜邊AB上的高CD.

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