Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D．

（1）直接寫出∠NDE的度數(shù)；

（2）如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD= ，其他條件不變，求線段AM的長．

 

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，

∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，

∴∠NDE=90°；

（2）不變，

在△MAC≌△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，

∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，

∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；

（3）作GK⊥BC于K，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAD=30°，

∵∠ACM=60°，

∴∠GCB=30°，

∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，

∠AMG=75°，

∴AM=AG，

∵△MAC≌△NBC，

∴∠MAC=∠NBC，

∴∠BDA=∠BCA=90°，

∵BD=，

∴AB=+，

AC=BC=+1，

設(shè)BK=a，則GK=a，CK=a，

∴a+a=+1，

∴a=1，

∴KB=KG=1，BG=，

AG=，

∴AM=．

本題考查的是矩形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、利用方程的思想是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．