【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=x+3交于A,B兩點,交x軸與DC兩點,連接AC,BC,已知A0,3),C3,0).

)求拋物線的解析式和tan∠BAC的值;

)在()條件下:

1Py軸右側(cè)拋物線上一動點,連接PA,過點PPQ⊥PAy軸于點Q,問:是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ACB相似?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

2)設(shè)E為線段AC上一點(不含端點),連接DE,一動點M從點D出發(fā),沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點,再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止,當點E的坐標是多少時,點M在整個運動中用時最少?

【答案】y=x2x+3tan∠BAC=;()(1)(1136)、(,)、(,);(2)點E的坐標為(2,1).

【解析】

)只需把A、C兩點的坐標代入y=x2+mx+n,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線AB與拋物線的交點B的坐標,過點BBH⊥x軸于H,如圖1.易得∠BCH=∠ACO=45°BC=,AC=3,從而得到∠ACB=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tan∠BAC的值;

)(1)過點PPG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.設(shè)點P的橫坐標為x,由Py軸右側(cè)可得x0,則PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若點G在點A的下方,∠PAQ=∠CAB時,△PAQ∽△CAB.此時可證得△PGA∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x.則有Px,3-3x),然后把Px,3-3x)代入拋物線的解析式,就可求出點P的坐標∠PAQ=∠CBA時,△PAQ∽△CBA,同理,可求出點P的坐標;若點G在點A的上方,同理,可求出點P的坐標;(2)過點EEN⊥y軸于N,如圖3.易得AE=EN,則點M在整個運動中所用的時間可表示為.作點D關(guān)于AC的對稱點D′,連接D′E,則有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,從而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根據(jù)兩點之間線段最短可得:當D′E、N三點共線時,DE+EN=D′E+EN最。藭r可證到四邊形OCD′N是矩形,從而有ND′=OC=3ON=D′C=DC.然后求出點D的坐標,從而得到ODON、NE的值,即可得到點E的坐標.

解:()把A03),C30)代入y=x2+mx+n,得

,解得:

拋物線的解析式為y=x2-x+3

聯(lián)立,解得:

B的坐標為(4,1).

過點BBH⊥x軸于H,如圖1

∵C3,0),B4,1),

∴BH=1,OC=3OH=4,CH=4-3=1

∴BH=CH=1

∵∠BHC=90°,

∴∠BCH=45°BC=

同理:∠ACO=45°,AC=3,

∴∠ACB=180°-45°-45°=90°,

∴tan∠BAC=

)(1)存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ACB相似.

過點PPG⊥y軸于G,則∠PGA=90°

設(shè)點P的橫坐標為x,由Py軸右側(cè)可得x0,則PG=x

∵PQ⊥PA,∠ACB=90°

∴∠APQ=∠ACB=90°

若點G在點A的下方,

如圖2①,當∠PAQ=∠CAB時,則△PAQ∽△CAB

∵∠PGA=∠ACB=90°∠PAQ=∠CAB,

∴△PGA∽△BCA

∴AG=3PG=3x

Px,3-3x).

Px3-3x)代入y=x2-x+3,得

x2-x+3=3-3x,

整理得:x2+x=0

解得:x1=0(舍去),x2=-1(舍去).

如圖2②,當∠PAQ=∠CBA時,則△PAQ∽△CBA

同理可得:AG=PG=x,則Px3-x),

Px3-x)代入y=x2-x+3,得

x2-x+3=3-x

整理得:x2-x=0

解得:x1=0(舍去),x2=,

∴P);

若點G在點A的上方,

∠PAQ=∠CAB時,則△PAQ∽△CAB,

同理可得:點P的坐標為(11,36).

∠PAQ=∠CBA時,則△PAQ∽△CBA

同理可得:點P的坐標為P,).

綜上所述:滿足條件的點P的坐標為(1136)、(,)、(,);

2)過點EEN⊥y軸于N,如圖3

Rt△ANE中,EN=AEsin45°=AE,即AE=EN,

M在整個運動中所用的時間為

作點D關(guān)于AC的對稱點D′,連接D′E

則有D′E=DE,D′C=DC∠D′CA=∠DCA=45°,

∴∠D′CD=90°DE+EN=D′E+EN

根據(jù)兩點之間線段最短可得:

D′、E、N三點共線時,DE+EN=D′E+EN最小.

此時,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,

四邊形OCD′N是矩形,

∴ND′=OC=3ON=D′C=DC

對于y=x2-x+3,

y=0時,有x2-x+3=0,

解得:x1=2,x2=3

∴D20),OD=2,

∴ON=DC=OC-OD=3-2=1,

∴NE=AN=AO-ON=3-1=2

E的坐標為(2,1).

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