Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，BF平分∠ABC交DC于F，DE平分∠ADC交AB于E．
（1）AD與BC有何位置關(guān)系？為什么？
（2）求證：DE∥FB；
（3）若∠A=50°，求四邊形DEBF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可計(jì)算出∠A+∠ABC=180°，進(jìn)而得到AD∥BC；
（2）與（1）同理可得CD∥AB，進(jìn)而得到四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到AD=AE=CF=BC，進(jìn)而得到四邊形DFBE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的定義可得DE∥FB；
（3）根據(jù)∠A=50°，AD=AE可算出∠DEA的度數(shù)，進(jìn)而得到四邊形DEBF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

解答：解：（1）AD∥BC，
∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC；

（2）與（1）同理：CD∥AB，
∴∠2=∠3，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，CD=AB，
∵DE平分∠ADC交AB于E，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=AE，
同理：CF=BC，
∵AD=BC，
∴AE=CF，
∴CD-CF=AB-AE，
即DF=EB，
∴四邊形DFBE為平行四邊形，
∴DE∥FB；

（3）∵四邊形DFBE為平行四邊形，
∴∠DEB=∠DFB，∠FDE=∠EBF，
∵∠A=50°，
∴∠3=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠DEB=∠DFB=180°-65°=115°，
∵DF∥BE，
∴∠FDE=∠EBF=180°-115°=65°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理．