Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0．
（1）求證：無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若原方程的兩個實數(shù)根一個大于2，另一個小于7，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號來證明：
（2）先求出原方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)兩個實數(shù)根一個大于2，另一個小于7，列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵△=[-（4m+1）]²-4（3m²+m）=4（m+

1

2

）²，
∵（m+

1

2

）²是非負數(shù)，
∴4（m+

1

2

）²≥0，即△≥0．
∴無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：解關(guān)于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0得到，x=

4m+1±2(m+ 1 2 )

2

，
∴x₁=，x₂=m．
則由題意，得

3m+1＞2 m＜7

或

3m+1＜7 m＞2

，
解得，

1

3

＜m＜7．
即m的取值范圍是

1

3

＜m＜7．

點評：本題考查一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根；同時考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式組．