Question

如果一個正多邊形的每個內(nèi)角比它相鄰的外角的4倍還多30°，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和．

Answer 1

分析：一個正多邊形的每個內(nèi)角比它相鄰的外角的4倍還多30°，又由于內(nèi)角與外角的和是180度．設(shè)內(nèi)角是x°，外角是y°，列方程組求解，再根據(jù)多邊形的外角和與內(nèi)角和定理求解．

解答：解：設(shè)內(nèi)角是x°，外角是y°，
則得到一個方程組

x=4y+30 x+y=180

解得

x=150 y=30

．
而任何多邊形的外角是360°，
則多邊形內(nèi)角和中的外角的個數(shù)是360÷30=12，
則這個多邊形的邊數(shù)是12邊形，內(nèi)角和為（12-2）×180°=1800°．
故這個多邊形的邊數(shù)為12，內(nèi)角和為1800°．

點評：本題根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的問題，并利用了多邊形的外角和與內(nèi)角和定理；已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．