Question

如圖，⊙O的直徑BC=8，過點C作⊙O的切線m，D是直線m上一點，且DC=4，A是線段BO上一動點，連接AD交⊙O于點G，過點A作AF⊥AD交直線m于點F，交⊙O于點H，連接GH交BC于點E．
（1）當A是BO的中點時，求AF的長；
（2）若∠AGH=∠AFD，
①GE與EH相等嗎？請說明理由；
②求△AGH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）當點A是BO的中點時，根據△ACD∽△FCA，可將AF的長求出；
（2）①GE=EH，利用有兩對角相等的兩三角形相似可證明△AGH∽△AFD，根據相似三角形的性質得到：∠AGH=∠F=∠CAG，進而得到AE=GE=HE，所以GE=EH；
②（I）當GH為⊙O的直徑時，根據△AGH∽△AFD，可將△AFD的面積求出；（II）當GH不是直徑時，可知△AGH為等腰直角三角形，從而可將△AFD的面積求出．
解答：解：（1）∵BC=8，A是OB的中點，
∴AC=6，
又∵DC為⊙O的切線，
∴∠ACD=∠ACF=90°，
∵AD⊥AF，
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余，
∴∠ADC=∠CAF，
∴△ACD∽△FCA，
∴CD：AC=AC：FC
即4：6=6：FC，
∴FC=9，
∴AF===3；

（2）①GE=EH，
理由如下：
∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
∴GE=EH，
②∵GE=EH，有垂徑定理推論可知：GH是圓O的直徑或GH是垂直于直徑的弦，
如圖1，（I）如果GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），那么GH=8；
在直角△AFD中，
∵∠ACD=∠ACF=90°，∠GAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，∠F+∠CAF=90°，
∴∠F=∠DAC，
∴△DAC∽△AFC，
∴=，
∵AC=8，DC=4代入得：FC=16，
由勾股定理得：FD=20，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH與△AFD相似比為2：5，
∴這兩個相似三角形的面積比為4：25，
而△AFD的面積為=×20×8=80，
∴△AGH的面積=×80=；
如圖2，（II）如果GH不是直徑，由GE=HE，
根據垂徑定理的推論可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，則∠AGH=45°．
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形ACD中，∠DAC=45°．
∴AC=CD=4，
而OC=4，
∴A、O點重合，故AG=AH=4，
∴△AGH的面積=8．
點評：本題考查了相似三角形的判定以及性質、勾股定理的運用、垂徑定理的運用，等腰直角三角形的性質綜合應用，題目的綜合性強，難度大，是一道不錯的中考壓軸題．