Question

已知拋物線y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），（a≠0）．
（1）求證：無論a為任何非零實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸都有交點(diǎn)；
（2）若拋物線y=ax²-（3a+1）x+2（a+1）與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點(diǎn)，m、n、a均為整數(shù)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（n-1，n+1）、Q（0，a），求一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）依據(jù)根的判別式即可判定；
（2）把點(diǎn)A（m，0）、B（n，0）代入拋物線y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），解得關(guān)于x的方程的解；再進(jìn)一步m、n、a為整數(shù)，探討得出a的值，進(jìn)一步確定m、n的數(shù)值，求得P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得問題即可．

解答：（1）證明：∵△=[-（3a+1）]²-4a×2（a+1）
=a²-2a+1
=（a-1）²≥0
∴無論a為任何非零實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸都有交點(diǎn)．…
（2）解：∵拋物線y=ax²-（3a+1）x+2（a+1）與x軸交于A（m，0）、B（n，0）兩點(diǎn)，
∴a≠1．
令y=ax²-（3a+1）x+2（a+1），（a≠0）中y=0，
有：ax²-（3a+1）x+2（a+1）=0．
解得：x=2，x=1+

1

a

．
∵m、n、a均為整數(shù)，
∴a=-1，m=0，n=2或m=2，n=0．
∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（n-l，n+l）、Q（0，a），
∴當(dāng)a=-1，n=2時(shí)，有P（1，3）、Q（0，-1），
解得：y=4x-1．
當(dāng)a=-1，n=0時(shí)，有P（-1，1）、Q（0，-1），
解得：y=-2x-1．

點(diǎn)評：此題考查二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，拋物線與x軸交點(diǎn)的問題，以及分類討論思想的滲透．