Question

我們定義：在等腰三角形中，腰與底邊的比叫做等腰三角形的正度．已知△ABC中，AB=AC，D是底邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C不重合）．
（1）張強(qiáng)同學(xué)認(rèn)為一定存在點(diǎn)D，使△ABD具有正度，你認(rèn)為張強(qiáng)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？如果正確，請(qǐng)加以證明；不正確，舉一個(gè)反例說(shuō)明；
（2）如圖，∠A＞∠ABC，△ABC的正度為

5

8

，周長(zhǎng)為18，是否存在點(diǎn)D，使△ABD具有正度？若存在．求出△ABD的正度；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）不一定存在點(diǎn)D，使△ABD具有正度，反例：當(dāng)∠BAC＜∠ABC，只需說(shuō)明△ABD不可能為等腰三角形即可．
（2）由△ABC的正度為

5

8

，周長(zhǎng)為18，求出△ABC的三條邊的長(zhǎng)，然后分兩種情況討論：①當(dāng)AB=BD=5時(shí)，如圖（2），求出AD即可；②當(dāng)AD=BD時(shí)，如圖（3），求出AD即可．

解答：解：（1）不一定存在點(diǎn)D，使△ABD具有正度，
反例：當(dāng)∠BAC＜∠ABC時(shí)，如圖（1）

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC＜∠ABC，
∴∠BAD＜∠ABC，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ADB＞∠ABC＞∠BAD，
∴AB＞AD＞BD，
∴△ABD不可能為等腰三角形，
∴不一定存在點(diǎn)D，使△ABD具有正度．
（2）存在．
∵△ABC的正度為

5

8

，
∴

AB

BC

=

5

8

，
設(shè)：AB=5x，BC=8x，則AC=5x，
∵△ABC的周長(zhǎng)為18，
∴AB+BC+AC=18，
即：18x=18，
∴x=1，
∴AB=5x=5，BC=8x=8，AC=5x=5，
分兩種情況：
①當(dāng)AB=BD=5時(shí)，如圖（2）

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB=AC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
∵BD=5，
∴DE=BD-BE=1，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE=3，
在Rt△AED中，
由勾股定理得：AD=

10

，
∴△ABD的正度=

AB

AD

=

5

10

=

10

2

；
②當(dāng)AD=BD時(shí)，如圖（3）

由①可知：BE=4，AE=3，
∵AD=BD，
∴DE=BE-BD=4-AD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD²-DE²=AE²，
即：AD²-（4-AD）²=3²，
解得：AD=

25

8

，
∴△ABD的正度=

AD

AB

=

25 8

5

=

5

8

．
綜上所述存在兩個(gè)點(diǎn)D，使△ABD具有正度．△ABD的正度為

10

2

或

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：理解正度的含義．