Question

如圖1、圖2，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點(diǎn)A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．
（1）如圖1，EF與斜邊BC不相交時(shí)，直接寫出EF、BE、CF三者間有何關(guān)系，不需證明．
（2）如圖2，EF與斜邊BC相交時(shí)，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明．如不成立，請(qǐng)給出新的結(jié)論并證明．
（3）如圖3，直線EF與AB、AC兩邊相交，分別過A、B、C三點(diǎn)作EF的垂線，垂足分別為D、E、F，請(qǐng)直接寫出EF、BE、CF、AD之間的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，由∠BAC=90°就可以得出∠BAE+∠CAF=90°，就可以求出∠BAE=∠ACF就可以得出△ABE≌△CAF就可以得出BE=AF，AE=CF而得出結(jié)論；
（2）如圖2，通過得出∠BAE=∠ACF就可以得出△ABE≌△CAF就可以得出BE=AF，AE=CF而得出結(jié)論EF=CF-BE；
（3）如圖3，過點(diǎn)A作l∥EF，延長(zhǎng)BE，CF分別交l于點(diǎn)M和N，就可以得出△ABM≌△CAN，就有BM=AN，AM=CN，就可以得出EF=BE+CF+2AD．

解答：解：（1）EF=CF+BE
理由：如圖1，∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB=∠CFA ∠BAE=∠ACF AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE；
（2）EF=CF-BE
理由：如圖2，∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFA=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，

∠AEB=∠CFA ∠BAE=∠ACF AB=CA

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF．
∵EF=AE-AF，
∴EF=CF-BE；
（3）EF=C+BE+2AD．
理由：如圖3，過點(diǎn)A作l∥EF，延長(zhǎng)BE，CF分別交l于點(diǎn)M和N，
∴∠BED=∠BMA，∠CFD=∠CNA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAM+∠CAN=90°．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BED=∠MED=∠NFD=∠CFD=90°，
∴∠BMA=∠CNA=∠MED=∠NFD=90°．
∴∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAM=∠ACN．
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠CNA ∠BAM=∠ACN AB=CA

，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN．
∵∠BMA=∠CNA=∠MED=∠NFD=90°，
∴四邊形EMNF是矩形，
∴EF=MN，EM=FN．
∵AD⊥NF，
∴∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠CNA=∠NFD=90°，
∴四邊形ADFN是矩形，
∴AD=NF，
∴AD=NF=EM．
∵EF=AM+AN，
∴EF=CN+BM，
∴EF=CF+FN+BE+EM，
∴EF=CF+AD+BE+AD，
∴EF=C+BE+2AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定就性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．