Question

如圖，矩形ADEF與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），∠EBF=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)Q（5，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為

（-4，0）

；點(diǎn)E坐標(biāo)為

（1，3）

；
（2）若∠BEP=15°時(shí)，求t的值；
（3）以點(diǎn)P為圓心，PE為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABED的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知點(diǎn)E與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)A與點(diǎn)D橫坐標(biāo)相等，又x軸上縱坐標(biāo)為0，求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0）；由△EBF為等腰直角三角形得出BF=EF=DA=3，又點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），得到OF=1，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3）；
（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)及點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論；
（3）由于⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PE為半徑的圓，而點(diǎn)P是從點(diǎn)Q（5，0）出發(fā)，沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，所以⊙P不可能與AB相切，那么當(dāng)⊙P與四邊形ABED的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①⊙P與BE相切于點(diǎn)E；②⊙P與ED相切于點(diǎn)E；③⊙P與AD相切．

解答：解：（1）∵矩形ADEF中，點(diǎn)D坐標(biāo)為（-4，3），
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)E縱坐標(biāo)為3，EF=DA=3．
在直角△EBF中，∠EBF=45°，
∴BF=EF=3，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），OB=2，
∴OF=BF-OB=3-2=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3）．
故答案為（-4，0），（1，3）；

（2）∵點(diǎn)Q（5，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
∴QF=5-1=4．
點(diǎn)P從點(diǎn)Q（5，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，若∠BEP=15°時(shí)，可分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，
∵∠BEP=15°，
∴∠FEP=∠BEF-∠BEP=45°-15°=30°．
在△PEF中，∵∠PFE=90°，∠FEP=30°，EF=3，
∴FP=

3

，
∴QP=QF+FP=4+

3

，
∴t=4+

3

；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
∵∠BEP=15°，
∴∠FEP=∠BEF+∠BEP=45°+15°=60°，
在△PEF中，∵∠PFE=90°，∠FEP=60°，EF=3，
∴FP=3

3

，
∴QP=QF+FP=4+3

3

，
∴t=4+3

3

；
故t的值為4+

3

或4+3

3

；

（3）由題意知，若⊙P與四邊形ABED的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)⊙P與BE相切于點(diǎn)E時(shí)，連接EP，則有∠BEP=90°，
∴∠FEP=∠BEP-∠BEF=90°-45°=45°，
∴FP=EF=3，
∴PQ=QF-FP=4-3=1，
∴t=1；

②當(dāng)⊙P與ED相切于點(diǎn)E時(shí)，有PE⊥ED，即點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，
∵QP=QF=4，
∴t=4；

③當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，連接EP，則有PE=PA=QA-QP=9-t，∠DAP=90°，
在△PEF中，∵∠PFE=90°，PE=9-t，EF=3，PF=t-4，
∴PE²=PF²+EF²，即（9-t）²=（t-4）²+3²，
解得：t=5.6．

綜上可知，當(dāng)⊙P與四邊形ABED的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，t的值為1或4或5.6．

點(diǎn)評：本題是圓的綜合題，涉及到矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，難度不是很大，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．