Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，若不成立請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：EN與MF相等，

證明：連接DE、DF，

∵△ABC和△DMN為等邊三角形，

∴DM=DN，∠MDN=60°，

∵點(diǎn)D、E、F、分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，

∴△DEF是等邊三角形，

∴∠MDF=∠NDE，

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴EN=MF；

（2）

解：成立，

證明：連結(jié)DE，DF，EF．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC．

∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，

∴DE，DF，EF為三角形的中位線．

∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE，

∴MF=NE；

（3）

解：畫出圖形如圖③所示：

MF與EN相等的結(jié)論仍然成立．

由（2）得，△DMF≌△DNE，

∴MF=NE．

【解析】（1）連接DE、DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠MDF=∠NDE，證明△DMF≌△DNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）與（1）的方法相同；（3）根據(jù)題意畫出圖形，證明△DMF≌△DNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明．
【考點(diǎn)精析】利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．