Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=12，∠C=60°，動點P從點C出發(fā)沿C→D方向向終點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿D→A→B方向向終點B運動．
（1）求AD的長；
（2）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M；不存在，請說明理由；
（3）在整過運動過程中，求：線段PQ的中點O運動的路程．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點A作AE∥BC交CD于E，易證得四邊形ABCE是平行四邊形，即可求得DE的長，繼而可得△AED是等邊三角形，則可求得AD的長；
（2）若存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ，即可求得△PDQ恰為等邊三角形．過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，繼而可得MC⊥DM，則可求得BM的長；
（3）分析可得PQ的中點O運動的軌跡分為兩部分；當Q在AD上時，PQ的中點O關(guān)于AF對稱的一條線段，長度是相同的．起點是CD的中點、終點是AF的中點；當Q在AB上時，PQ的中點O始終不動，則可求得線段PQ的中點O運動的路程．
解答：解：（1）過點A作AE∥BC交CD于E，

∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE=BC，CE=AB=4，
∴DE=CD-CE=12-4=8，
∵AD=BC，
∴AE=BC，
∵∠C=60°，
∴∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴AD=DE=8；

（2）存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ．
設(shè)動點P與Q的運動時間為t，
于是12-t=t，t=6．
此時，點P、Q的位置如圖2所示，△PDQ恰為等邊三角形．
過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，

∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=CD=PD，即MP=PD=DQ=QM，
∴四邊形PDQM是菱形，
∴存在滿足條件的點M，且BM=BC-MC=8-6=2；

（3）PQ的中點O運動的軌跡分為兩部分；

當Q在AD上時，PQ的中點O關(guān)于AF對稱的一條線段，長度是相同的．起點是CD的中點、終點是AF的中點；
當Q在AB上時，PQ的中點O始終不動，此段Q中點運動的距離為0．
∴線段PQ的中點O運動的路程為：4．
點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．