Question

如圖（1），△AB₁C₁是邊長為1的等邊三角形；如圖（2），取AB₁的中點C₂，畫等邊三角形AB₂C₂，連接B₁B₂；如圖（3），取AB₂的中點C₃；畫等邊三角形AB₃C₃，連接B₂B₃；如圖（4），取AB₃的中點C₄，畫等邊三角形AB₄C₄，連接B₃B₄，則B₃B₄的長為

 

．若按照這種規(guī)律一直畫下去，則B_nB_n+1的長為

 

（用含n的式子表示）

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：過點C₂作C₂D⊥B₁B₂于點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出B₁D的長，進而得出B₁B₂的長，同理可得出B₂B₃的長，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答：解：如圖（2），
過點C₂作C₂D⊥B₁B₂于點D，
∵△AB₁C₁是邊長為1的等邊三角形，C₂是AB₁的中點，
∴B₁C₂=B₂C₂=

1

2

．
∵△AB₂C₂是等邊三角形，
∴∠B₁C₂B₂=120°，B₁C₂=B₂C₂，
∴∠DB₁C₁=∠DB₂C₂=30°，
∴B₁D=B₁C₂•cos30°=

1

2

×

3

2

=

3

4

，
∴B₁B₂=2B₁D=

3

2

，
同理可得，B₂B₃=

3

22

，B₃B₄=

3

23

…，
∴B_nB_n+1=

3

2n

．
故答案為：

3

23

，

3

2n

．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，求出B₁B₂的長，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．