Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c．
①若b=2a+

1

2

c，那么函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)？
②若a＜0且c=0，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有y≤1，求證：4a+b²≤0．
③若函數(shù)圖象上兩點(diǎn)（0，y₁）和（1，y₂）滿足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，試確定二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將b=2a+

1

2

c整理為4a-2b+c=0即可判斷其經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題目提供的條件求得其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)一步整理即可得到答案；
（3）將（0，y₁）和（1，y₂）分別代入函數(shù)的解析式，利用y₁•y₂＞0、2a+3b+6c=0，即可確定縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答：（1）解：由b=2a+

1

2

c，可得4a-2b+c=0，
∵當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c=0，
∴函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）；

（2）證明：此時(shí)拋物線解析式為y=ax²+bx，圖象是開(kāi)口向下的拋物線，a＜0．
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)

-b2

4a

≤1，
∴-b²≥4a，
∴4a+b²≤0；

（3）解：由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由題意，y₁•y₂=c•（a+b+c）＞0，
即6c•（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）•（4a+3b）＞0，（2a+3b）•（4a+3b）＜0，
兩邊同除以9a²，
∵9a²＞0，
∴(

b

a

+

2

3

)•(

b

a

+

4

3

)＜0，
∴

b a + 2 3 ＜0 b a + 4 3 ＞0

或

b a + 2 3 ＞0 b a + 4 3 ＜0

∴-

4

3

＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

1

3

＜-

b

2a

＜

2

3

，即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及拋物線與x軸的交點(diǎn)，另外還考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，是一道比較復(fù)雜的二次函數(shù)綜合題．