Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD與BE交于點P，BQ⊥AD于點Q，求證：BP=2PQ．

Answer 1

分析：推出等邊三角形ABC，推出∠BAC=∠C=60°，證△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，求出∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，求出∠PBQ=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)推出即可．

解答：證明：∵AB=BC=CA，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中

AB=AC ∠BAC=∠C AE=DC

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠BPQ=60°和∠PBQ=30°．