Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明BM⊥CM；
（2）如圖2，當(dāng)a=

3

，b=4時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BM⊥CM？若存在，試確定此時(shí)M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在BM⊥CM？若存在，試確定此時(shí)M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)可知AB=AM=MD=DC=a，再根據(jù)在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，可知∠AMB=∠DMC=45°，故可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)BM⊥CM可知∠BMC=90°，故可得出∠AMB=∠DMC=90°，由相似三角形的△ABM∽△DMC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出

AM

CD

=

AB

DM

，故可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)BM⊥CM可知∠BMC=90°，設(shè)AM=x，由（2）可知x²-bx+a²=0，由b＜2a，a＞0，b＞0可知△=b²-4a²＜0，故可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°，即BM⊥CM；

（2）解：存在．
理由：∵BM⊥CM，則∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴

AM

CD

=

AB

DM

設(shè)AM=x，則

x

3

=

3

4-x

，整理得：x²-4x+3=0，
解得x=3或x=1，即M點(diǎn)在邊AD上且距A點(diǎn)為1或3個(gè)單位的位置；

（3）解：不存在．   
理由：若BM⊥CM，則∠BMC=90°，設(shè)AM=x，由（2）可知x²-bx+a²=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b²-4a²＜0，
∴方程沒有實(shí)數(shù)根，即當(dāng)b＜2a時(shí)，不存在BM⊥CM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．