Question

方程x²-2x+1=0的根為x₁=1，x₂=1，則x₁+x₂=2，x₁•x₂=1．
方程x²+3x-4=0的根為x₁=-4，x₂=1，則x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-4，
方程x²-x-1=0的根為x₁=，x₂=，則x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1
（1）由此可得到什么猜想？你能證明你猜想的結論嗎？
（2）利用（1）的結論解決下列問題：
已知α、β是方程x²+（m-2）x+502=0的兩根，求代數(shù)式（502+mα+α²）（502+mβ+β²）的值．

Answer 1

解：（1）猜想：若方程x²+px+q=0（p、q是常數(shù)，x是未知數(shù)）有兩個根x₁、x₂，則x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．理由如下：
∵方程x²+px+q=0的兩實根是x₁=，x₂=，
∴x₁+x₂=+==-p，
x₁•x₂=•==q；

（2）∵α、β是方程x²+（m-2）x+502=0的兩根，
∴α²+（m-2）α+502=0，β²+（m-2）β+502=0，
∴α²+mα=2α-502，β²+mβ=2β-502，
又由（1）知，α+β=2-m，αβ=502，
∴（502+mα+α²）（502+mβ+β²）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008．
分析：（1）觀察方程的兩根的和與積與方程的系數(shù)之間的關系，利用系數(shù)表示出兩個根的和與積得到結論，然后利用求根公式進行證明；
（2）先根據(jù)方程根的定義得出α²+（m-2）α+502=0，β²+（m-2）β+502=0，變形之后，再利用（1）的結論求出即可．
點評：本題考查了學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，實際上考查了根與系數(shù)的關系，求根公式及方程的解的定義，難度中等．