Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（4，12）為雙曲線y=

k

x

（x＞0）上的一點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）過(guò)雙曲線上的點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，連接OP，若Rt△OPB兩直角邊的比值為

1

4

，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分別過(guò)雙曲線上的兩點(diǎn)P₁、P₂，作P₁B₁⊥x軸于B₁，P₂B₂⊥x軸于B₂，連接OP₁、OP₂．設(shè)Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周長(zhǎng)分別為l₁、l₂，內(nèi)切圓的半徑分別為r₁、r₂，若

l1

l2

=2，試求

r1

r2

的值．

Answer 1

分析：（1）直接把A的坐標(biāo)代入解析式中就可以確定k的值；
（2）設(shè)P（m，n），根據(jù)函數(shù)解析式和Rt△OPB兩直角邊的比值可以列出方程，解方程可以求出m，n，也就求出了點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)最下圖此題首先應(yīng)該知道一個(gè)結(jié)論：

1

2

（a+b+c）•r=

1

2

ab，利用這個(gè)結(jié)論可以得到

l1

l2

=

r2

r1

，這樣就可以求出

r1

r2

的值了．

解答：解：（1）將A（4，12）代入雙曲線y=

k

x

中，得12=

k

4

，則k=48；（3分）

（2）由（1）得雙曲線解析式為y=

48

x

，（4分）
設(shè)P（m，n），∴n=

48

m

，即mn=48，（5分）
當(dāng)

OB

PB

=

1

4

時(shí)，即

m

n

=

1

4

，可設(shè)m=z，n=4z，
∴z•4z=48，解得z=2

3

，
∴m=2

3

，n=8

3

，
∴P（2

3

，8

3

），（7分）
當(dāng)

PB

OB

=

1

4

時(shí)，同理可求得P（8

3

，2

3

）；（8分）

（3）在Rt△OP₁B₁中，設(shè)OB₁=a₁，P₁B₁=b₁，OP₁=c₁，
則P₁（a₁，b₁），由（2）得a₁b₁=48，
在Rt△OP₂B₂中，設(shè)OB₂=a₂，P₂B₂=b₂，OP₂=c₂，
則P₂（a₂，b₂），由（2）得a₂b₂=48，
∵

1

2

(a1+b1+c1)•r1=

1

2

a1b1=24

1

2

(a2+b2+c2)•r2=

1

2

a2b2=24（10分）
∴（a₁+b₁+c₁）•r₁=（a₂+b₂+c₂）•r₂（11分）
即l₁•r₁=l₂•r₂，故

l1

l2

=

r2

r1

（12分）
又∵

l1

l2

=2，∴

r2

r1

=2，即得：

r1

r2

=

1

2

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題，也利用了三角形的內(nèi)切圓的知識(shí)，有一定綜合性．