Question

（2011•武漢模擬）在等腰△ABC中，AB=AC，邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度m得到線段AD．
（1）如圖1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，連接BD，請(qǐng)用含m的式子表示∠DBC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，連接BD、DC，直接寫出△BDC為等腰三角形時(shí)m所有可能的取值．
（3）如圖3，若∠BAC=90°，射線AD與直線BC相交于點(diǎn)E，是否存在旋轉(zhuǎn)角度m，使AE：BE=

2

，若存在，求出所有符合條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠ABC，∠ABD的度數(shù)，相減即可求解；
（2）分四種情況：討論得到△BDC為等腰三角形時(shí)m的取值；
（3）分E點(diǎn)在BC上和CB的延長(zhǎng)線上兩種情況討論求解．

解答：解：（1）∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∠ABD=（180°-m）÷2=90°-

1

2

m，
∠DBC=∠ABC-∠ABD=75°-（90°-

1

2

m）=

1

2

m-15°；

（2）由分析圖形可知m的取值為：30°，120°，210°，300°；

（3）存在2個(gè)符合條件的m的值：m=30°或m=330°．
如圖①：過(guò)E作EF⊥AB于F．
在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，
∴BE=

2

EF，
∵AE：BE=

2

；
∴AE=2EF；
又∵∠AFE=90°；
∴∠FAE=30°．即m=30°
在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，
∴AE=2EF，
∴AE：BE=

2

；
如圖②：同理可得：AE：BE=

2

．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意分類思想的運(yùn)用，是考試壓軸題，難度較大．