Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別做勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）試在（1）中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒．如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出此時(shí)t的取值范圍．
（4）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵O、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（8，6），
設(shè)OC的解析式為y=kx+b，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：k=，b=0，
∴y=x
∵A，O是x軸上兩點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-18）
再將C（8，6）代入得：a=-
∴y=-x²+x．

（2）D（10，6）．

（3）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q（m，m），
依題意有：m²+（m）²=（2t）²
∴m=t，
∴Q（t，t），（0≤t≤5）
當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為2t，
∵OC=10，
∴CQ=2t-10，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t-10+8=2t-2，
∴Q（2t-2，6），（5＜t≤10）．

（4）∵梯形OABC的周長為：10+18+10+6=44，當(dāng)Q點(diǎn)OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-t），
△OPQ中，OP邊上的高為：（22-t）×，S_△OPQ=t（22-t）×，
梯形OABC的面積S=（18+10）×6=84，
∵直線PQ把梯形的面積也分成相等的兩部分，即S_△OPQ=S，
依題意有：t（22-t）×=84×，
整理得：t²-22t+140=0
∵△=22²-4×140＜0，
∴這樣的t不存在，
當(dāng)Q在BC上時(shí)，Q走過的路程為22-t，
∴CQ的長為：22-t-10=12-t，
∴梯形OCQP的面積=×6×（22-t-10+t）=36≠84×，
∴這樣的t值不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P，Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長和面積．
分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)D就是拋物線與CB的另一個(gè)交點(diǎn)．在拋物線的解析式中令y=6，就可以求出D的坐標(biāo)．
（3）本題應(yīng)分Q在OC上，和在CB上兩種情況進(jìn)行討論．即0≤t≤5和5＜t≤10兩種情況．
（4）P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和可以用t表示出來，梯形OABC的周長就可以求得．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，就可以得到一個(gè)關(guān)于t的方程，可以解出t的值．梯形OABC的面積可以求出，梯形OCQP的面積可以用t表示出來．把t代入可以進(jìn)行檢驗(yàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，本題是函數(shù)與梯形的性質(zhì)相結(jié)合的綜合題．