Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長(zhǎng)。

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用了軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題。

（1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D、C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，求證：四邊形AEGF是正方形；

（2）設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）由翻折變換可得∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD，AF＝AD，再結(jié)合可得四邊形AEGF為矩形，再有AE＝AF＝AD，即可證得結(jié)論；（2）6

【解析】

試題分析：（1）由翻折變換可得∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD，AF＝AD，再結(jié)合可得四邊形AEGF為矩形，再有AE＝AF＝AD，即可證得結(jié)論；    

（2）由AD＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AE=EG=GF=AF=x，即可得到BG＝x-2，CG＝x-3，BC＝2+3＝5，再根據(jù)勾股定理即可列方程求得結(jié)果.

在Rt△BGC中，

解得（不合題意，舍去）

∴AD＝x=6.

（1）∵AD⊥BC，BD＝2，DC＝3，由翻折變換可知：

∠E＝∠ADB＝90°，EB＝BD＝2，CF＝CD＝3，∠F＝∠ADC＝90°.

AE＝AD，AF＝AD

又∵∠BAC＝45°，則∠EAF＝90°

∵∠E＝∠F＝∠EAF＝90°

∴四邊形AEGF為矩形

又∵AE＝AF＝AD，則矩形AEGF為正方形；      

（2）∵AD＝x，則AE=EG=GF=AF=x，又EB＝2，CF＝3

∴BG＝x-2，CG＝x-3，BC＝2+3＝5

在Rt△BGC中，

解得（不合題意，舍去）

∴AD＝x=6.

考點(diǎn)：翻折變換，正方形的判定，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后圖形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)��?yīng)角相等；有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形.