Question

18、設x₁、x₂是關于x的方程x²-4x+k+1=0的兩個實數(shù)根．
（1）試確定k的取值范圍．
（2）是否存在整數(shù)k使得2x₁?x₂＞x₁+x₂成立，若存在求出k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式解決△=（-4）²-4k-4≥0，即可求出；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系x₁+x₂=4，x₁•x₂=k+1，再利用2x₁?x₂＞x₁+x₂成立求出k的取值范圍即可．

解答：（1）解：由方程有兩個實數(shù)根得：
△=（-4）²-4k-4≥0，
解得k≤3；

（2）∵x₁+x₂=4，x₁•x₂=k+1且2x₁?x₂＞x₁+x₂
∴2（k+1）＞4解得k＞1，
又∵k≤3，
∴1＜k≤3，
∴存在符合題意的整數(shù)k=2或3．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．