Question

如圖，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大�。�
（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=BE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根據(jù)直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出BC=4，設(shè)AE=BE=x，表示出CE=4-x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，
解得∠B=20°；

（2）由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
設(shè)AE=BE=x，則CE=4-x，
在Rt△ACE中，AC²+CE²=AE²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得x=

25

8

，
∴△AEB的周長(zhǎng)=

25

8

×2+5=11.25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，（2）的求解有點(diǎn)難度，要注意．