Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析；（2）BD=.

【解析】

試題分析：(1)要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可;

(2)通過(guò)作輔助線,根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù),在Rt△BCD中求解即可.

試題解析：

（1）直線BD與⊙O的位置關(guān)系是相切．

證明：連結(jié)OD，DE.

∵∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=90°．

∵∠A=∠CBD，

∴∠A+∠CDB=90°．

∵OD=OA，

∴∠A=∠ADO．

∴∠ADO+∠CDB=90°．

∴∠ODB=180°-90°=90°．

∴OD⊥BD．

∵OD為半徑，

∴BD是⊙O切線．

（2）∵AD:AO=8:5，

∴=．

∴由勾股定理得AD:DE:AE=8:6:10．

∵∠C=90°，∠CBD=∠A.

∴△BCD∽△ADE．

∴DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10．

∵BC=3，

∴BD=．

考點(diǎn)：1.圓切線的判定；2.相似三角形的性質(zhì).