Question

對口扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務）致富，企業(yè)甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業(yè)乙，并約定從該店經營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元后，逐步償還轉讓費（不計息），在甲提供的材料中有：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的關系如圖；③每月需各種開支2000元．
（1）為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應定為多少？
（2）當商品的價格每件多少元時，月利潤和除職工最低生活費的余額最大并求出最大值．
（3）企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？

Answer 1

分析：（1）如果使該店剛好能夠維持職工生活，那么該店經營的利潤只能保證企業(yè)乙的全體職工每個月最低的生活費的開支3600元以及每月所需的各種開支2000元，據(jù)此列出方程，從而確定商品的價格；
（2）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，列出L與售價P的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)性質求出L取最大值時，自變量P的值，從而確定商品的價格；
（3）企業(yè)乙脫貧即還清5.8萬元的轉讓價格和5萬元的無息貸款，要求最早脫貧時間，由上問P的值，根據(jù)題意設可在n年后脫貧，則此n年經營的利潤≥50000+58000，求出n的最小值，得出結果．

解答：解：（1）根據(jù)圖象，當14≤P≤20時，
設Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得

14k+b=22 20k+b=10

，
解得

k=-2 b=50

，
則Q=-2P+50；
當20≤P≤26時，
設Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得

20m+n=10 26m+n=1

，
解得

m=-1.5 n=40

，
則Q=-1.5P+40，
即Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
若商品的價格應定為P元時，該店剛好能夠維持職工生活，
則有100（P-14）Q=3600+2000，分兩種情況：
第一種：當14≤P≤20時，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合題意，舍去）；
第二種：當20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=

56

3

（不合題意，舍去）．
答：為使該店剛好能夠維持職工生活，商品的價格應定為18元或22元．

（2）設月利潤和除職工最低生活費的余額為L，則L=100（P-14）Q-2000．分兩種情況：
第一種：當14≤P≤20時，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
則當P=

-7800

2×(-200)

=19.5時，L有最大值，
此時L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-2000=4050；
第二種：當20≤P≤26時，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
則當P=

-6100

2×(-150)

=

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3

時，L有最大值，
此時L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

3

-2000=2016

2

3

．
因為4050＞2016

2

3

，
所以當P=19.5元時，月利潤最大，為4050元．

（3）設可在n年后脫貧，由題意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脫貧．

點評：本題是一道綜合題，難度較大．重點考查了一次函數(shù)圖象和實際應用相結合的問題，能夠從圖象上準確地獲取信息，本題中Q與P的關系是分段的，要注意對應，這是做本題的關鍵．