Question

30、如圖1，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O．
（1）在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段AC、BD的數(shù)量關(guān)系是

相等

；直線AC、BD相交成角的度數(shù)是

90°

．
（2）將圖1的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角，在圖2中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△OAB．
（3）將圖1中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，連接AC、BD得到圖3，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？作出判斷并說(shuō)明理由．若△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，即可判斷出AC=DB，直線AC、BD相交成角的度數(shù)是90°；
（3）中關(guān)鍵是證明△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，△ACO≌△BOD，即可證明兩個(gè)結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，且疊放在一起，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，即線段AC、BD的數(shù)量關(guān)系是相等；
由圖可直接看出，直線AC、BD相交成角的度數(shù)是90°．
（2）圖如上所畫(huà)．
（3）將圖1中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，則AC仍舊等于BD，直線AC、BD相交成角的度數(shù)是90°
∵旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，∠COA+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠COA=∠BOD，又OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，∴AC=BD．
延長(zhǎng)CA交OD于H，交BD于E，
∵△COA≌△DOB，∴∠OCA=∠BDO，又∠DHE=∠CHO，
∴∠CED=∠COD=90°，
將△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，學(xué)生在解決本題時(shí)，要認(rèn)真的觀察圖象，細(xì)心作答．