如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD垂直平分OB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上,∠AFC=30°.
(1)求證:CF為⊙O的切線.
(2)若半徑ON⊥AD于點(diǎn)M,CE=,求圖中陰影部分的面積.
(1)證明方法一:連結(jié)OC、BC, ∵CD垂直平分OB, ∴OC=BC. ∵OB=OC, ∴OB=OC=BC. ∴△OCB是等邊三角形. ∴∠BOC=60°. ∵∠CFO=30°, ∴∠OCE=90°. ∴OC⊥CF. ∵OC是⊙O的半徑, ∴CF是⊙O的切線. 證明方法二:連結(jié)OC, ∵CD垂直平分OB, ∴OE=OB,∠CEO=90°. ∵OB=OC, ∴OE=OC,在Rt△COE中sin∠ECO==. ∴∠ECO=30°. ∴∠EOC=60°. ∵∠CFO=30°, ∴∠OCE=90°. ∵OC是⊙O的半徑, ∴CF是⊙O的切線. (2)連結(jié)OD,由(1)可得∠COF=60°, 由圓的軸對(duì)稱性可得∠EOD=60°, ∴∠DOA=120°. ∵OM⊥AD,OA=OD, ∴∠DOM=60°. 在Rt△COE中CE=,∠ECO=30°,cos∠ECO=, ∴OC=2. ∴S扇形OND==π. ∴S△OMD=OM·DM=. ∴S陰影=S扇形OND-S△OMD=π-. |
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如圖,AB為⊙O的直甲徑,PD切⊙O于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線于D,且CO=CD,則∠PCA=
A.60°
B.65°
C.67.5°
D.75°
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