Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AD=AB，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠DAQ=∠BAQ=45°，然后利用“邊角邊”證明△ADQ和△ABQ全等；
（2）分①AQ=DQ時(shí)，點(diǎn)B、P重合，②AQ=AD時(shí)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADQ=∠AQD，再求出正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)，再求出CQ，然后根根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CPQ=∠ADQ，從而得到∠CQP=∠CPQ，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CP=CQ，從而得到點(diǎn)P的位置，③AD=DQ時(shí)，點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)重合．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，
都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，
則有①如圖1，AQ=DQ時(shí)，點(diǎn)Q為正方形ABCD的中心，點(diǎn)B、P重合；

②如圖2，AQ=AD時(shí)，根據(jù)等邊對(duì)等角有∠ADQ=∠AQD，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∴CQ=AC-AQ=4

2

-4，
∵AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ=4

2

-4，
此時(shí)點(diǎn)P在距離點(diǎn)B：4-（4

2

-4）=8-4

2

；

③如圖3，AD=DQ時(shí)，點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)重合；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到①點(diǎn)B的位置；②在BC上，且到點(diǎn)B的距離為8-4

2

處；③運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難度不大，（2）要注意分情況討論．