Question

如圖所示，ABCD是矩形，AH=2，HD=4，DE=2，EC=1，點(diǎn)F是BC上任一點(diǎn)（F與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），過(guò)點(diǎn)F作EH的平行線交AB于點(diǎn)G，設(shè)BF為x，四邊形HGFE面積為y．寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式

專題：

分析：連接HF，設(shè)BF為x，則BF=6-x，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DHE=∠GFB，從而求得△HDE∽△FBG，得出

BG

BF

=

DE

HD

，得出即

BG

6-x

=

2

4

，解得BG=3-

1

2

x，AG=

1

2

x，
由關(guān)系S_{四邊形EFGH}=S_矩形-S_△AGH-S_△GBF-S_△ECF-S_△WDH，即可求出表達(dá)式．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AH=2，HD=4，DE=2，EC=1，
∴BC=BF+CF=AH+HD=6，AB=CD=DE+EC=3，
設(shè)BF為x，則BF=6-x，
連接HF，
∴∠DHF=∠BFH，
∵GF∥HE，
∴∠EHF=∠GFH，
∴∠DHE=∠GFB，
∴△HDE∽△FBG，
∴

BG

BF

=

DE

HD

，
即

BG

6-x

=

2

4

，解得BG=3-

1

2

x，
∴AG=3-（3-

1

2

x）=

1

2

x，
∴y=S_矩形-S_△AGH-S_△GBF-S_△ECF-S_△WDH=AB•BC-

1

2

AG•AH-

1

2

BG•BF-

1

2

FC•EC-

1

2

DH•DE=6×3-

1

2

×

1

2

x×2-

1

2

×（3-

1

2

x）×（6-x）-

1

2

•x×1-

1

2

×4×2=-

x2

4

+2x+5．
∵y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

x2

4

+2x+5．（0＜X＜6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)三角形相似的判定和性質(zhì)，用間接的方法求出四邊形EFGH的面積是解題的關(guān)鍵．