Question

如圖，已知點A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)y=

t

x

(x＞0)的圖象，設(shè)直線AB與x軸交于點C，AD⊥x軸于D點，
（1）若m=n+1，求t的值；
（2）若m，n是關(guān)于x方程：x²-2ax+a²-1=0的兩根，問：在x軸上是否存在點E，使得△ABE與△ADC相似？若存在，請求出點E坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入反比例函數(shù)解析式，然后根據(jù)m=n+1代入整理得到關(guān)于t的一元一次方程，然后解方程即可得解；
（2）利用因式分解法求出方程的解，然后結(jié)合圖形得到m、n的表達式，再根據(jù)（1）的方法利用反比例函數(shù)解析式代入求出t的值，從而得到點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再求出點C的坐標，從而得到AD、CD的長度，然后分①BE是直角邊時，利用兩角對應相等，兩三角形相似判定，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出CE的長，從而得到點E的坐標，②AE是直角邊時，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ABE=∠BEC+∠ACD，從而得到△ABE與△ADC不可能相似．

解答：解：（1）∵點A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)圖象上，
∴m=t，n=

1

2

t，
∵m=n+1，
∴t=

1

2

t+1，
解得t=2；

（2）x²-2ax+a²-1=0，
（x-a-1）（x-a+1）=0，
∴x-a-1=0，x-a+1=0，
解得x₁=a+1，x₂=a-1，
結(jié)合圖形可知m＞n，
∴m=a+1，n=a-1，
∴a+1=t，a-1=

1

2

t，
解得t=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

，
∴點A、B的坐標是A（1，4）、B（2，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

k+b=4 2k+b=2

，
解得

k=-2 b=6

，
∴直線AB的解析式為y=-2x+6，
當y=0時，-2x+6=0，
解得x=3，
∴點C的坐標為（3，0），
又∵A（1，4）、B（2，2），
∴AD=4，CD=3-1=2，且點B是AC的中點，
①如圖1，當BE是直角邊時，△AEC關(guān)于BE成軸對稱，
∴∠AEB=∠CEB，
∵∠CEB+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CEB=∠AEB=∠CAD，
在△ABE與△CDA中，

∠AEB=∠CAD ∠ABE=∠ADC=90°

，
∴△ABE∽△CDA，
在Rt△CDA中，AC=

AD2+CD2

=

42+22

=2

5

，
∴BC=

1

2

AC=

5

，
∵∠ACD=∠ECB，∠ADC=∠EBC=90°，
∴△ACD∽△ECB，
∴

CE

AC

=

BC

CD

，
即

CE

2 5

=

5

2

，
解得CE=5，
∴OE=3-5=-2，
∴點E的坐標為（-2，0），
②如圖2，當AE是直角邊時，∠ABE=∠BEC+∠ACD，
∴△ABE與△ADC不可能相似．
故在x軸上存在點E（-2，0），使得△ABE∽△CDA．

點評：本題綜合考查了反比例函數(shù)的問題，待定系數(shù)法求直線解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的求解，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，綜合性質(zhì)較強，難度較大．