Question

已知：如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分別為E、F．
（Ⅰ）當(dāng)四邊形PEMF為矩形時(shí)，矩形ABCD的長與寬滿足什么條件？試說明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PEMF變?yōu)檎�方形？為什么�?br />

Answer 1

【答案】分析：（I）是由結(jié)果推已知條件的試題，可以把結(jié)果當(dāng)做一個(gè)已知條件用． （Ⅱ）是探索性試題，同樣可以把結(jié)果當(dāng)做條件解題．
解答：（Ⅰ）法1：答：當(dāng)四邊形PEMF為矩形時(shí)，
矩形ABCD的長是寬的2倍．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵AM=DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS）
∴∠AMB=∠DMC
∵四邊形PEMF為矩形，
∴∠BMC=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°
∴AM=DM=DC，即AD=2DC．
∴當(dāng)四邊形PEMF為矩形時(shí)，矩形ABCD的長是寬的2倍；
法2：∵四邊形PEMF為矩形，
∴∠M為直角，
∴B、C、M三點(diǎn)共圓，BC為直徑，
又∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴BC=2CD，
∴當(dāng)四邊形PEMF為矩形時(shí)，矩形ABCD的長是寬的2倍．

（Ⅱ）答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形PEMF變?yōu)檎�方形�?br />∵△AMB≌△DMC，
∴MB=MC．
∵四邊形PEMF為矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC
又∵點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，
∴PE=PF=MC
∴四邊形PEMF為正方形．
點(diǎn)評：本題是典型的“由果索因”試題，這類題要求具備逆向思維能力，同時(shí)也可以培養(yǎng)探索求知的能力．