(2010•郴州)如圖(1),拋物線y=x2+x-4與y軸交于點A,E(0,b)為y軸上一動點,過點E的直線y=x+b與拋物線交于點B、C.
(1)求點A的坐標;
(2)當b=0時(如圖(2)),△ABE與△ACE的面積大小關系如何?當b>-4時,上述關系還成立嗎,為什么?
(3)是否存在這樣的b,使得△BOC是以BC為斜邊的直角三角形?若存在,求出b;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)知道拋物線的解析式,要求與y軸的交點,令x=0就能求得.
(2)當b=0時,直線為y=x,聯(lián)立兩方程式解得交點坐標,由三角形面積公式分別求出兩三角形的面積.當b>-4時,仍然聯(lián)立方程解坐標,作BF⊥y軸,CG⊥y軸,垂足分別為F、G,解得BF和CG的值,再由面積公式求面積值.
(3)由BF=CG,∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°,可證△BEF≌△CEG,可知BE=CE,即E為BC的中點,當OE=CE時,△OBC為直角三角形,解三角形得到答案.
解答:解:(1)將x=0,代入拋物線解析式,得點A的坐標為(0,-4),

(2)當b=0時,直線為y=x,由
解得,
∴B、C的坐標分別為(-2,-2),(2,2),,
∴S△ABE=S△ACE
當b>-4時,仍有S△ABE=S△ACE成立.理由如下

解得,
故B、C的坐標分別為(-,-+b),(,+b),
作BF⊥y軸,CG⊥y軸,垂足分別為F、G,則,
而△ABE和△ACE是同底的兩個三角形,
∴S△ABE=S△ACE

(3)存在這樣的b,
∵BF=CG,∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°,
∴△BEF≌△CEG,
∴BE=CE,
即E為BC的中點,
∴當OE=CE時,OE=BC,此時△OBC為直角三角形.
,
,而OE=|b|,

解得b1=4,b2=-2,
∴當b=4或-2時,△OBC為直角三角形.
點評:本題主要考查二次函數(shù)的應用,是一道綜合性很強的習題,做題需要細心.
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