把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①),且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點按順時針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件:0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖②).
(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;
(2)連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的?若存在,求出此時x的值;若不存在,說明理由.
(1)BH=CK,四邊形CHGK的面積不變,∵△ABC為等腰直角三角形,O為其斜邊中點, ∴CG=BG,CG⊥AB,∴∠ACG=∠B=45°. 又∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角,∴∠BGH=∠CGK △BGH≌△CGK,∴BH=CK,S△BGH=S△CGK ∴S四邊形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=4 (2)AC=BC=4,BH=x CH=4-x,CK=x ∴S△GKH=S四邊形CHGK-S△CHK ∴y=4-x(4-x) ∴y=x2-2x+4 ∵0°<α<90° ∴0<x<4 (3)存在x2-2x+4=×8 ∴x1=1,x2=3 ∴x=1或x=3時,△GHK的面積均等于△ABC的面積的. |
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