Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠D=30°，CD=6．則⊙O的半徑為

 

；圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,扇形面積的計算

專題：

分析：連接BC，由垂徑定理可知CE=

1

2

CD，

BC

=

BD

，故∠BCE=∠D=30°，由此可得出∠OBC的度數(shù)，進而判斷出△OBC是等邊三角形，故OC=BC，在Rt△BCE中由銳角三角函數(shù)的定義可求出BC的長即可得出OC的長；由全等三角形的判定定理得出△OCE≌△BDE，故可得出S_陰影=S_扇形OCB．

解答：解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠D=30°，CD=6，
∴CE=DE=

1

2

CD=3，

BC

=

BD

，
∴∠BCE=∠D=30°，BC=BD，
∴∠OBC=60°，∠BOC=2∠D=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OC=BC，
在Rt△BCE中，
∵∠BCE=30°，CE=3，
∴BC=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2

3

∴OC=2

3

；
在Rt△OCE與Rt△BDE中，
∵

OC=BD CE=DE

，
∴△OCE≌△BDE，
∴S_△OCE=S_△BDE，
∴S_陰影=S_扇形OCB=

60π×12

360

=2π．
故答案為：2

3

，2π．

點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、扇形的面積公式等知識，難度適中．