Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點D，使AD=

1

2

AB，點E、F分別為邊BC，AC的中點
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形．
（2）若BC=10cm，求DF的長．
（3）若BC=10cm，且∠C=30°，求四邊形AEFD的面積．

Answer 1

分析：（1）由點E、F分別為邊BC，AC的中點，可知EF是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質，可得EF∥AB，EF=

1

2

AB，又由AD=

1

2

AB，即可得AD=EF，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形AEFD是平行四邊形．
（2）由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E邊BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AE的長，又由平行四邊形的對邊相等，即可求得DF的長．
（3）首先求得EF，AE，CE的長，又由∠C=30°，即可求得EF，CF的長，繼而可求得△AEF的面積，則可求得四邊形AEFD的面積．

解答：（1）證明：∵點E、F分別為邊BC，AC的中點，
即EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
即EF∥AD，
∵AD=

1

2

AB，
∴EF=AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E邊BC的中點，
∴AE=

1

2

BC=

1

2

×10=5（cm），
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE=5cm；

（3）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E邊BC的中點，
∴AE=EC=

1

2

BC=

1

2

×10=5（cm），
∵EF∥AB，∠BAC=90°，
∴∠EFC=90°，
∵∠C=30°，
∴EF=

1

2

EC=

5

2

cm，CF=CE•cos∠C=5×

3

2

=

5 3

2

（cm），
∵點F邊AC的中點，
∴AF=CF

5 3

2

cm，
∴S_△AEF=

1

2

AF•EF=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

（cm²），
∴S_{四邊形AEFD}=2S_△AEF=

25 3

4

cm²．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形中位線的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質、以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用．