Question

（2013•威海）操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．
問題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得BC=DE，進(jìn)而得到∠BDC=∠BCD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出度數(shù)，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，進(jìn)而算出度數(shù)，根據(jù)角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，首先根據(jù)∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4

3

，HF=4，DB=8

3

，BF=16，進(jìn)而得到BC=8

3

，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BG=AG=4

3

，證明四邊形AGHD為矩形，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得AD長．

解答：解；（1）由圖①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，DH⊥BF，垂足為點(diǎn)H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4

3

，HF=4，
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8

3

，BF=16，
∴BC=BD=8

3

，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=4

3

，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，
∴四邊形AGHD為矩形，
∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4

3

-4=12-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．