精英家教網(wǎng)如圖所示,過點F(0,1)的直線y=kx+b與拋物線y=
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x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)兩點(其中x1<0,x2>0).
(1)求b的值.
(2)求x1•x2的值.
(3)分別過M,N作直線l:y=-1的垂線,垂足分別是 M1和N1.判斷△M1FN1的形狀,并證明你的結(jié)論.
(4)對于過點F的任意直線MN,是否存在一條定直線m(m是常數(shù)),使m與以MN為直徑的圓相切?如果有,請求出這條直線m的解析式;如果沒有,請說明理由.
分析:(1)把點F的坐標代入直線可以確定b的值.
(2)聯(lián)立直線與拋物線,代入(1)中求出的b值,利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出x1•x2的值.
(3)確定M1,N1的坐標,利用兩點間的距離公式,分別求出M1F2,N1F2,M1N12,然后用勾股定理判斷三角形的形狀.
(4)根據(jù)題意可知y=-1總與該圓相切.
解答:解:(1)∵直線y=kx+b過點F(0,1),
∴b=1;

(2)∵直線y=kx+b與拋物線y=
1
4
x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)兩點,
∴可以得出:kx+b=
1
4
x2,
整理得:
1
4
x2-kx-1=0,
∵a=
1
4
,c=-1,
∴x1•x2=-4,

(3)△M1FN1是直角三角形(F點是直角頂點).
理由如下:∵FM12=FF12+M1F12=x12+4,
FN12=FF12+F1N12=x22+4,
M1N12=(x2-x12=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8,
∴FM12+FN12=M1N12
∴△M1FN1是以F點為直角頂點的直角三角形.

精英家教網(wǎng)(4)符合條件的定直線m即為直線l:y=-1.
過M作MH⊥NN1于H,MN2=MH2+NH2=(x1-x22+(y1-y22,
=(x1-x22+[(kx1+1)-(kx2+1)]2
=(x1-x22+k2(x1-x22,
=(k2+1)(x1-x22
=(k2+1)[(x1+x22-4x1•x2]
=(k2+1)(16k2+16)
=16(k2+1)2,
∴MN=4(k2+1),
分別取MN和M1N1的中點P,P1,
PP1=
1
2
(MM1+NN1)=
1
2
(y1+1+y2+1)=
1
2
(y1+y2+2)=
1
2
(y1+y2)+1=
1
2
k(x1+x2)+2=2k2+2,
∴PP1=
1
2
MN
即線段MN的中點到直線l的距離等于MN長度的一半.
∴以MN為直徑的圓與l相切.
即對于過點F的任意直線MN,存在一條定直線m,使m與以MN為直徑的圓相切,這條直線m的解析式是y=-1.
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,
(1)由點F的坐標求出b的值.
(2)結(jié)合直線與拋物線的解析式,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值.
(3)用兩點間的距離公式,判斷三角形的形狀.
(4)根據(jù)點與圓的位置判斷直線與圓的位置.
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4x
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