Question

如圖，已知△ABC的高AE=5，BC=

40

3

，∠ABC=45°，F(xiàn)是AE上的點(diǎn)，G是點(diǎn)E關(guān)于F的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作BC的平行線與AB交于H、與AC交于I，連接IF并延長(zhǎng)交BC于J，連接HF并延長(zhǎng)交BC于K．
（1）請(qǐng)你探索并判斷四邊形HIKJ是怎樣的四邊形？并對(duì)你得到的結(jié)論予以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在AE上運(yùn)動(dòng)并使點(diǎn)H、I、K、J都在△ABC的三條邊上時(shí)，求線段AF長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△HFG≌△KFE，△IFG≌△JFE和HI∥BC可證HG=KE以及GI=JE，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
，即可證明；
（2）AF取最小值時(shí)，F(xiàn)無(wú)限接近AE中點(diǎn)，取最大值時(shí)，F(xiàn)無(wú)限接近E點(diǎn)，即F在以AE的中點(diǎn)與E兩點(diǎn)之間的線段上移動(dòng)，且線段GI=JE不會(huì)大于BE．因而可求得AF的長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（1）四邊形HIJK是平行四邊形．理由如下：
∵HI∥BC，AE是BC邊上的高，
∴∠HGF=∠KEF，
又∵FG=FE，∠HFG=∠KFE，
∴△HFG≌△KFE，
∴HG=KE．
同理可證GI=JE，
∴HI=JK，
∴四邊形HIKJ是平行四邊形；

（2）設(shè)線段AF長(zhǎng)的取值為x．
∵四邊形HIKJ是平行四邊形，
∴FG=EF，
∴AG=2x-5，
在△AGI與△AEC中，
∵HI∥BC
∴△AGI∽△AEC
∴

AG

AE

=

GI

EC

，

2x-5

5

=

GI

40 3 -5

，
GI=

5

3

(2x-5)
由圖可知0＜GI≤BE，
即0＜

5

3

(2x-5)≤5，
解得2.5＜x≤4．
故2.5＜AF≤4．

點(diǎn)評(píng)：已知對(duì)邊平行，再證明該對(duì)邊相等即可證明四邊形是平行四邊形．