Question

23、△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過(guò)B、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)A的直線的垂線，垂足分別為D、E，如圖（1）．
（1）判斷線段BD、DE、EC是什么關(guān)系？予以證明；
（2）如圖（2），設(shè)O為BC的中點(diǎn)，連接DO、EO，判斷DO、EO有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件及互余關(guān)系可證△ABD≌△CAE，則BD=AE，AD=CE，由DE=AD-AE，得出線段BD、DE、EC的關(guān)系；
（2）過(guò)O點(diǎn)作OG⊥AD，垂足為G點(diǎn)，根據(jù)O點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，證明OG為線段DE的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答：解：（1）DE=EC-BD．
理由：∵∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC，
又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，
∴△ABD≌△CAE，BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD-AE=EC-BD；

（2）DO=EO．
理由：如圖2，過(guò)O點(diǎn)作OG⊥AD，垂足為G點(diǎn)，
∵O點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，BD⊥AD，CE⊥AD，
∴G點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，即OG為線段DE的垂直平分線，
∴DO=EO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是靈活運(yùn)用判定與性質(zhì)解題．