Question

已知0°＜θ＜90°，且關(guān)于x的方程x²-2xtanθ-3=0的兩個根的平方和等于10，則以tanθ，為根的一元二次方程為________．

Answer 1

y²-（1+）y+=0
分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出θ的度數(shù)，然后求出其它三角函數(shù)的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程形式．
解答：設(shè)x₁，x₂為關(guān)于x的方程x²-2xtanθ-3=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2tanθ，x₁•x₂=-3．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴4tan²θ+6=10，
∴tanθ=±1．
∵0°＜θ＜90°，
∴tanθ＞0，
∴tanθ=1，
∴θ=45度．
當(dāng)θ=45°時，△=4tan²θ+12＞0，
∴tanθ+=1+，
tanθ•=．
∴以tanθ，為根的一元二次方程為y²-（1+）y+=0．
故填空答案：y²-（1+）y+=0．
點評：本題解題關(guān)鍵：
1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-、x₁•x₂=來化簡（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10；
2、特殊角的三角函數(shù)值要熟練．