Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx-1與x軸交于兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）若點(diǎn)D為拋物線C₁上任意一點(diǎn)，且四邊形ACBD為直角梯形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若將拋物線C₁先向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到拋物線C₂，直線l₁是第一、三象限的角平分線所在的直線．若點(diǎn)P是拋物線C₂對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l₂：x=t平行于y軸，且分別與拋物線C₂和直線l₁交于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)．是否存在直線l₂，使得△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在求出t的值；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，把A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先可以求得C的坐標(biāo)，可以得到∠ACB=90°，則分AD∥BC和AC∥BC兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)AD∥BC時(shí)，首先求得AD的解析式，然后解AD得解析式與二次函數(shù)的解析式組成的方程組，即可求得D的坐標(biāo)．同法，可以求得當(dāng)AC∥BC時(shí)的坐標(biāo)；
（3）首先寫出C₂與直線l₁的解析式，當(dāng)x=t時(shí)，D、E的縱坐標(biāo)分別是：（t-2）²和t，則DE=|t-（t-2）²|，PE=|t-2|，根據(jù)△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形，則PE=DE，據(jù)此即可得到關(guān)于t的方程，解方程求得t的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

a-b-1=0 a+b-1=0

，
解得：

a=1 b=0

則函數(shù)的解析式是：y=x²-1；

（2）在y=x²-1中，令x=0，解得：y=-1，則C的坐標(biāo)是（0，-1）．
則OA=OB=OC=1，
則△OAC和△OBC都是等腰直角三角形，
則∠ACB=90°，
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，則

b=-1 -k+b=0

，解得：

b=-1 k=-1

，則直線AC的解析式是：y=-x-1，
同理，BC的解析式是：y=x-1．
當(dāng)AD∥BC時(shí)，設(shè)AD的解析式是：y=x+c，把A（-1，0）代入得：-1+c=0，解得：c=1，
則AD的解析式是：y=x+1，
解方程組：

y=x+1 y=x2-1

，解得：

x=2 y=3

，則D的坐標(biāo)是（2，3）；
同理，當(dāng)AC∥BC時(shí)，可以求得D的坐標(biāo)是：（-2，3）．
故D的坐標(biāo)是（2，3）或（-2，3）；

（3）拋物線C₂的解析式是y=（x-2）²，則對(duì)稱軸是：x=2，則P的橫坐標(biāo)是2．
直線l₁的解析式是y=x．
當(dāng)x=t時(shí)，D、E的縱坐標(biāo)分別是：（t-2）²和t，則DE=|t-（t-2）²|，
PE=|t-2|，
∵△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形，
∴PE=DE，
則：|t-（t-2）²|=|t-2|，
解得：t=3±

3

或2±

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了拋物線解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)，注意（2）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．